夢晨 鷺羽 發(fā)自 凹非寺
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陶哲軒與GPT-5 Pro這對搭檔再大發(fā)神威，解決了一個3年無人解決的難題。
而且是“不太在自己專業(yè)范圍內(nèi)”的問題：微分幾何領(lǐng)域的開放問題。
要知道，陶哲軒擅長的分析、數(shù)論、組合學(xué)等研究的往往是整數(shù)、函數(shù)、算子的性質(zhì)。而微分幾何更側(cè)重于流形的性質(zhì)，常用的工具也很不一樣。
陶哲軒只是按自己直覺給了一個大致方向，GPT-5 Pro就從復(fù)雜計算到嚴謹證明一氣呵成，幫助陶哲軒捕捉關(guān)鍵邏輯，突破傳統(tǒng)思維局限。
甚至在AI幫助下最終發(fā)現(xiàn)自己的直覺有誤，但通過這個過程更好理解了問題。
有了這次跨界解題的經(jīng)驗，陶哲軒對AI在學(xué)術(shù)研究上的作用也有了新的思考，他總結(jié)到：
AI在小尺度上很有用，中尺度上有些無益，大尺度上又有幫助。
AI從計算到證明一氣呵成
先來看看原始問題，是3年前就在mathoverflow上提出的：
設(shè)一個三維空間中的光滑拓撲球面圍成的區(qū)域，且曲面的主曲率絕對值不超過1，那么它包圍的體積是否至少等于單位球的體積？
陶哲軒最初的思路是將問題限制在星形區(qū)域上，借助積分不等式推進。但他的微分幾何有些生疏，所以請AI幫他進行這些計算。
結(jié)果GPT-5 Pro思考了11分18秒，不僅完成了所有計算，還直接給出了星形情況下問題的完整證明。
證明過程運用了各種不等式和恒等式，其中有些陶哲軒熟悉（比如Stokes定理和Willmore不等式），也有一個他也第一次接觸的Minkowski第一積分公式。
有了這些不等式，加上算術(shù)-幾何平均不等式，星形情況的證明實際上就是一行論證。
到目前為止，一切順利。
接下來他需要驗證證明的各個步驟，但網(wǎng)絡(luò)上沒有找到有用的資源。
再次詢問AI后，直接得到兩個令他滿意的證明：一個是按照他建議使用散度定理的路線，另一個是基于他沒想到的流方法。
通過AI的計算和證明，陶哲軒打算將其視為一個擾動橢圓偏微分方程問題，AI在這個思路上表現(xiàn)也良好。
雖然在估計一個擾動非線性項時出現(xiàn)了輕微的錯誤，但并非無法修復(fù)。而且AI還主動指出一個特殊情況其實又能回到星形的結(jié)果。
成功地用偏微分方程擾動理論的方法，解決了當曲面形狀與單位球面差距不大（Small Data）時的情形。
但真正困難且未解決的，是當曲面形狀與球面差距巨大（Large Data）時的問題。
陶哲軒意識到可以用將問題簡化為一個大型有限計算，但AI用這個方法給出的結(jié)果非?；靵y且缺乏啟發(fā)性，本質(zhì)上是對所有可能形狀的窮舉。
最終陶哲軒發(fā)現(xiàn)他設(shè)想的數(shù)值方法或許可以在有限的時間內(nèi)解決所有給定條件的特殊情況，但無法處理一般情況，但AI只是按照提問照做了。
最后總結(jié)一下：雖然問題最終還是沒有完全解決，但在AI的幫助下陶哲軒對這個問題的理解深入了很多。
陶哲軒的思考：AI工具的多尺度價值
雖然解題告一段落，但陶哲軒的思考還在繼續(xù)。
回顧整個解題過程，AI在“小尺度”問題上表現(xiàn)得很好，只犯了一些小錯誤，并貢獻了一些文獻中已有的，但陶哲軒之前并不知道的有用想法。
但是要想進一步推進這個問題，就需要真正的微分幾何專家的幫助了。
在“中等尺度”的策略上，AI略微顯得無益，它強化了陶哲軒對問題的錯誤直覺，而不是提出質(zhì)疑。
陶哲軒一開始的直覺是錯的，AI也沒有發(fā)現(xiàn)問題，基本上只是附和同意他說的一切。
但是在從獲得對問題理解的“大尺度”指標來看，AI又是有幫助的，盡管主要是間接意義上的：在AI的幫助下能夠更快地研究并最終放棄一種現(xiàn)在認為不適合的方法。
陶哲軒將這次經(jīng)歷與他之前的實驗進行了對比。
在之前的實驗中，他給AI一個他對結(jié)果有很好直覺的任務(wù)。這種情況下AI更有創(chuàng)造力，提供了他不知道的信息，但引導(dǎo)AI朝著富有成效的方向前進也明顯更加困難。
他認為，在自己專業(yè)領(lǐng)域之外的問題上與AI互動似乎確實有一些價值，但必須謹慎行事并保持對情況的認知。
這次經(jīng)歷還印證了陶哲軒之前提出的觀點：必須在多個尺度上衡量一個工具的有效性。
此前他提出了四個不同的效率衡量尺度：形式化證明中的任何單行、任何單個引理、任何定理的完整證明，以及整本教科書。
許多當前的自動化工具可以在其中一個尺度上加速形式化，但反直覺的是，過度依賴這樣的工具可能最終會降低在其他尺度上形式化的能力。
他認為最優(yōu)的自動化水平實際上嚴格介于0%和100%之間。
在每個尺度上都有足夠的自動化來減少繁瑣的重復(fù)工作，但在每個尺度上仍然有足夠的”人在回路中“來審查和修復(fù)局部問題，以便讓人類保持對所有尺度上任務(wù)結(jié)構(gòu)的感知。
如果過度地在單一尺度上對AI進行基準測試，最終可能會對長期目標產(chǎn)生不利影響。
陶哲軒與ChatGPT合作史
而陶哲軒對AI輔助數(shù)學(xué)工作的可能性探索還要追溯到三年前——ChatGPT剛剛發(fā)布的時候。
陶哲軒在其誕生伊始就敏銳地察覺到它的作用，并就黎曼假設(shè)進行試探性詢問，但得出的結(jié)果卻讓他大失所望：
ChatGPT給出了看似合理且相關(guān)的回答，但仔細檢查后卻沒有任何實際的深度內(nèi)容。
此時的ChatGPT還不能完全理解數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，只是在將一些低質(zhì)量內(nèi)容進行包裝掩蓋，這意味著常規(guī)的表面檢測方法不再準確，需要對核心內(nèi)容進行人工篩查，例如逐行地閱讀文本。
所以早期的陶哲軒對AI工具抱有懷疑審視的態(tài)度，認為AI在數(shù)學(xué)中的作用，是為答案提供近似值，然后人類數(shù)學(xué)家再通過傳統(tǒng)方法進行逐步細化。
轉(zhuǎn)機出現(xiàn)在GPT-4，陶哲軒嘗試使用GPT-4協(xié)助處理統(tǒng)計數(shù)據(jù)，即把原始數(shù)據(jù)輸入電子表格，并查找對應(yīng)函數(shù)、計算所需內(nèi)容。
短短幾分鐘，GPT-4就完成了人類一天的工作，期間只有非常少的部分需要校驗，這也讓陶哲軒開始期待將AI集成到軟件工具中，尤其是處理90%以上的LaTeX編譯問題。
我可以明確地說，今天是GPT4為我節(jié)省了大量繁瑣工作的第一天。
隨后，他開始使用GPT-4處理一些自己熟悉領(lǐng)域的數(shù)學(xué)問題，比如下面這個問題：證明遞歸式（定義R）能夠推導(dǎo)出a(n+1)。
GPT4從合作者的角度提出了八種不同方法，其中生成函數(shù)法引起了陶哲軒的注意，并隨即沿著該解決路徑，利用人工計算最終解決了這個問題。而最初陶哲軒想使用的是漸近分析方法，但事實證明AI可以更快地協(xié)助找到正確方案。
與此同時，他開始讓ChatGPT編寫Python來計算序列長度，雖然與預(yù)期的目標序列存在差異，只考慮到了連續(xù)整數(shù)的子序列而非任意子序列，但已經(jīng)足夠接近，而且其中在計算totient函數(shù)時還使用了非常獨到的方案。
但代碼本身有時也不夠簡潔、效率不高，或者邏輯不夠嚴密，還是需要人工校正與重寫。
他還嘗試使用Copilot書寫數(shù)學(xué)論文，不過在攥寫證明大綱時，AI陷入了長篇敘述有關(guān)隨機分析數(shù)論的廢話，只有在編寫非常短或重復(fù)的文本上有效。
所以此時的AI在陶哲軒看來，AI寫數(shù)學(xué)論文仍然是有趣多過于有用。
在GPT-o1發(fā)布后，陶哲軒同樣第一時間測試了其數(shù)學(xué)能力，顯然相比于前代，GPT-o1的幻覺問題得到解決，在形式化任務(wù)中也作用顯著，但在復(fù)雜分析問題上仍然令人失望，沒有產(chǎn)生關(guān)鍵的概念思想。
陶哲軒將這一代模型定義為平庸但并非完全無能的數(shù)學(xué)“研究生”，而此前的模型則更接近為無能的“研究生”水平，不過他也相信再迭代一兩次，加上與其他工具的集成，AI將在研究級別的任務(wù)中大有所為。
而今年七月份，OpenAI斬獲IMO金牌一事讓AI的數(shù)學(xué)能力再次引起熱議，陶哲軒也對此做出了長文回應(yīng)，認為缺乏統(tǒng)一的評測標準。
但同時他也開始讓ChatGPT處理一些更為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，比如在判斷該集合是否是HA的子集時，陶哲軒通過理論分析已經(jīng)確定該問題的答案是否定的，但仍需要一些數(shù)值參數(shù)來驗證部分不等式。
起初，直接要求AI提供一個Python代碼的反例，但由于初始參數(shù)問題始終失敗，隨后陶哲軒調(diào)整策略轉(zhuǎn)而與AI逐步對話，使其執(zhí)行啟發(fā)式計算并找到可行的參數(shù)選擇，通過單獨驗證生成的參數(shù)，最終解決了該問題。
陶哲軒總結(jié)認為，在數(shù)值搜索這類任務(wù)上，AI工具顯然可以節(jié)省大量時間，如果沒有AI，甚至他可能都不會考慮這種解決方法，而是尋求理論漸進分析。
而對于如何減少AI在數(shù)學(xué)問題中的幻覺或廢話問題，陶哲軒也顯然有了自己的一套心得，那就是在計算任務(wù)的每一步都做到詳細解釋，每一次和AI的對話都先確認再執(zhí)行下一步，在對話結(jié)束后再使用Python進行外部驗證，得到輸出。
正如他一直所說的那樣，AI正在重塑人類科學(xué)范式，其最合理的角色是成為數(shù)學(xué)家的“副駕駛”或助理，而不是取代人類在創(chuàng)造性、直覺性、策略性上的工作。
在AI的協(xié)助下，數(shù)學(xué)將在未來擁有更多的實驗，而不僅僅是理論。
論文地址：https://mathstodon.xyz/@tao/115351400633010670
參考鏈接：
[1]https://chatgpt.com/share/68e85cba-7228-800e-8804-a0f41aa64e14
[2]https://mathoverflow.net/questions/425509/sphere-with-bounded-curvature
[3]https://terrytao.wordpress.com/mastodon-posts/
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